عوامل الحساب

عواملَ تستعيرها الآلة من الرياضيات

كتبت دوالّ مساعدة في دروس سابقة: خزّن قيمةً، اطبعها، بدّل نوعها. لا يفيد شيءٌ من ذلك حتى يستطيع برنامجٌ أن يفعل شيئًا بالأعداد. لذا توقف قليلًا وتأمل: وُجد الحاسوب لتقييم التعبيرات، وكل تعبيرٍ يُبنى من عوامل تصل القيم. أنت تعرف حسابيةَ الورق ، لكن الآلة تقصّ اثنين منها إلى نصفين.

العوامل ومعانيها

توفّر بايثون ثمانية. الأربعة الأولى هي بالضبط ما تتوقعه:

7 + 2    # 9   — الجمع
7 - 2    # 5   — الطرح
7 * 2    # 14  — الضرب
7 / 2    # 3.5 — القسمة الحقيقية (ترجع float دائمًا)

ثم ثلاثة تجيب عن أسئلة لم تطرحها إلا في الواجبات:

7 // 2   # 3   — قسمة الأرضية (تقريب نحو −∞)
7 % 2    # 1   — المقياس (الباقي)
7 ** 2   # 49  — الأُس (7²)

** هو كتابة بايثون للقوة: $7^2 = 49$. أما الوافدان الجديدان فهما // و%، وليسا تباينين ، بل نصفا سؤالٍ واحدٍ مشروع.

نصفان لقسمةٍ واحدة

اطرح سؤالًا حقيقيًّا: كم مجموعةً كاملةً من أربعة تَسع العددَ 15، وما الذي يتبقى؟

للجواب جزآن ، خارج القسمة $3$ والباقي $3$. يجيب // في بايثون عن الجزء الأول ويجيب % عن الثاني:

15 // 4   # 3   — كم مجموعة من 4
15 % 4    # 3   — كم يتبقى
4 * 3 + 3 # 15  ✓ تتحقق الهوية

تلك الهوية ليست زخرفة ، إنها تعريف العاملَين، ولا يمكن أن تفشل ما دامت الآلة نفسها تحسب الجزأين.

ثمة التواءة. ما خارج القسمة الذي تخبرك به بايثون لمسألة $-7 \div 2$؟ اكتبها سؤالَ تجميع:

الخياران هما $2 \cdot (-3) + (-1)$ أو $2 \cdot (-4) + 1$. تأخذ بايثون الأرضية، مثل الدالة الرياضية $\lfloor x \rfloor$:

-7 // 2   # -4 — أرضية (-3.5) = -4 لا -3
-7 % 2    # 1  — ملتزمة بالأرضية: -7 = 2·(-4) + 1

يظلّ العاملان صادقَين أحدهما للآخر: الهوية $a = (a//b)\cdot b + (a\%b)$ تقوم بلا استثناء، وهذا أثمن من “الجواب البديهي”.

ترتيب العمليات، محسومٌ

التعبير الذي فيه عوامل متعددة يحتاج تسلسلًا ثابتًا، وإلا لحسب كل قارئ قيمةً مختلفةً لـ $2 + 3 \cdot 4$. تعتمد بايثون الترتيب الذي تعلمته باسم PEMDAS:

• ** أولًا (الأُس)
• ثم *, /, //, % (من اليسار إلى اليمين)
• ثم +, - (من اليسار إلى اليمين)

2 + 3 * 4      # 14، لا 20
(2 + 3) * 4    # 20 — الأقواس تتجاوز
2 ** 3 ** 2    # 512، لا 64

ذاك الأخير مفاجأة حقيقية. ** ترابطيٌّ يميني، فيُقرأ 2 ** 3 ** 2 هكذا $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$، مطابقًا للتدوين المكدّس حيث تصعد القوى في اتجاهٍ واحد. وعند الشك فصّل الأقواس ، قارئٌ لا يرى الأقواس لن يخمّن قصدك.

مثالٌ محلول: باقي خطةِ القراءة

يديرُ الزوجُ حاصلُ القسمةِ/الباقي خطةَ قراءةٍ:

pages = 301
per_day = 30
days = pages // per_day      # 10 — أيامُ قراءةٍ كاملة
leftover = pages % per_day   # 1  — باقي اليوم الحادي عشر

print(f"{days} full days, {leftover} leftover")
days * per_day + leftover    # 301 — تتحقق الهوية

تصيرُ هويةُ القسمةِ $a = (a \mathbin{//} b) \cdot b + (a \mathbin{\%} b)$ دفترَ حسابٍ: days وleftover عموداهُ، والهويةُ إيصالٌ يثبتُ أنَّ شيئًا لم يضِع.

أخطاء شائعة

• / مقابل //. 7 / 2 يساوي 3.5 (float)؛ 7 // 2 يساوي 3 (int). لا تلجأ إلى // إلا حين يكون الخارج الصحيح هو ما تطلبه المسألة.
• قسمة الأرضية مع السوالب. -7 // 2 يساوي -4 لا -3. الأرضية تسير نحو $-\infty$ لا نحو الصفر.
• % يعمل مع الكسور أيضًا. 7.5 % 2 يساوي 1.5 ، الهوية أعلاه تصلح للأعداد الحقيقية كما للأعداد الصحيحة.
• يرتبط ** أقوى من *. 2 * 3 ** 2 يساوي 18 لا 36 ، تُحسب القوةُ أولًا. ضعِ الأقواسَ متى أردت (2 * 3) ** 2 = 36.